Jak víte, který klíč je potřeba pro matici?

Nedávno jsme začali mluvit o lineární algebře a maticích. Zpočátku bylo všechno dobré a snadné:

• Seznámili jsme se s vektorem
• Provedli jsme na nich operace
• Naučil se určit jejich rovnoběžnost
• Seznámili jsme se s matrikami

Ale jakmile se začnete učit lineární algebru, může být obtížné přestat. Dnes se seznámíme s inverzní maticí a naučíme se ji vypočítat. To je dovednost, která se nám v budoucnu bude hodit při řešení maticových rovnic.

Z aritmetického hlediska není materiál náročný. Ale k pochopení pravidel to vyžaduje pečlivé čtení. Ve výsledku je článek docela velký, naše mozky se vaří a tanky jsou rychlé.

Měli byste si přečíst tento článek?

❌ Pokud potřebujete jednoduchá rychlá řešení pro život – ne, můžete oznámit, že dnes máte volno.

✅ Pokud vašemu mozku chybí výzvy a nové obzory, vítejte v matrixu.

Jak je to naopak?

V matematice existují reciproká čísla. Vyjdou takto: vezmete číslo, přidáte zápornou mocninu a získáte převrácené číslo:

Reciproká čísla při vzájemném násobení vždy dávají jedničku:

Máte rádi matematiku? Tohle je pro vás
Volný kurz

Co je to inverzní matice

V lineární algebře existují inverzní matice. Ve vlastnostech se podobají reciprokým číslům: pokud je obyčejná matice vynásobena její inverzní hodnotou, získá se matice identity.

Matice identity funguje jako matice identity s čísly: vynásobíte-li libovolné číslo jednou, dostanete původní číslo; pokud vynásobíte jakoukoli matici maticí identity, získáte původní matici:

Matice identity se skládá z jedniček a nul: na diagonále jsou jedničky; zbývající prvky jsou nuly. Identifikační matice se při výpočtu inverzních matic nepoužívají, ale bez nich nebude možné maticové rovnice řešit.

Jak vypočítat inverzní matici

Chcete-li vypočítat inverzní matici, musíte provést tři kroky. Podmínky prozatím ignorujte:

1. Vydělte jedničku maticovým determinantem.
2. Najděte transponovanou matici algebraických doplňků.
3. Výsledné hodnoty vynásobte.

Dále zjistíme vše v pořádku.

První akce: vydělte jedničku maticovým determinantem

Determinant je speciální číslo, které „definuje“ vlastnosti matice.

Pořadí, ve kterém je determinant vypočítán, závisí na velikosti matice, které odpovídá – čím větší je matice, tím obtížnější je vypočítat determinant. S maticemi se teprve seznamujeme, proto se zaměříme na determinanty druhého a třetího řádu – ty jsou vhodné pro čtvercové matice velikosti 2 × 2 a 3 × 3.

Abychom našli determinant druhého řádu, stačí vynásobit prvky hlavní úhlopříčky a od hodnoty odečíst součin čísel druhé úhlopříčky.

Determinant třetího řádu se najde vynásobením úhlopříček trojúhelníky. Operací je zde mnoho, takže vzorec poskládejme po částech.

Nejprve pracujeme podél hlavní úhlopříčky: přejdeme z levého horního prvku a přesuneme se k pravému dolnímu prvku. Vynásobíme prvky dohromady.

K součinu prvků první úhlopříčky přidáme součin prvního trojúhelníku. Základna prvního trojúhelníku je rovnoběžná s hlavní úhlopříčkou a skládá se z prvků A₂1 a A₃₂. Vrcholem je prvek A₁3.

K získanému výsledku přidáme součin druhého trojúhelníku, ve kterém základnu tvoří prvky A₁2 a A₂3, a vrchol – A₃1.

Od výsledné hodnoty odečtěte součin prvků druhé úhlopříčky. Druhá úhlopříčka začíná v levém dolním rohu a jde do pravého horního rohu.

Odečteme součin prvků třetího trojúhelníku, jehož základem jsou prvky A₁₂ a A₂1 a vrchol je A₃3.

Poslední krok: odečtěte součin čtvrtého trojúhelníku, jehož základna se skládá z prvků A₂₃ a A3₂ a vrcholu A₁1.

Školení v Yandex Workshop Skvělá matematika pro ty, kteří chtějí jít do IT

Druhá akce: najděte transponovanou matici algebraických sčítání

Transponovaná matice algebraického doplňku se vypočítá ve třech krocích:

1. Matici nezletilých najdeme z původní matrice.
2. Změníme znaménko některých prvků v matici vedlejších a získáme matici algebraických sčítání.
3. Transponovanou matici najdeme z matice algebraických sčítání.

Algoritmus pro výpočet matice minorů a matice algebraických doplňků závisí na velikosti původní matice – čím je větší, tím je výpočetní vzorec složitější. Proto uvažujeme pouze matice druhého a třetího řádu.

Abychom našli matici nezletilých 2. řádu, musíme postupně vyškrtnout tři prvky původní matice:

• První řádek a první sloupec původní matice proškrtneme – dostaneme první prvek prvního řádku matice nezletilých.
• První řádek a druhý sloupec proškrtneme – získáme druhý prvek prvního řádku matice nezletilých.
• Druhý řádek a první sloupec proškrtneme – získáme první prvek druhého řádku matice nezletilých.
• Druhý řádek a druhý sloupec proškrtneme – získáme druhý prvek druhého řádku matice nezletilých.

Při sestavování matice minorů změníme znaménka prvků druhé diagonály a získáme matici algebraických sčítání. Nyní vezmeme tuto matici a provedeme transpozici – změníme uspořádání řádků a sloupců. Připraveno.

Menší matice třetího řádu se vypočítá podle následujícího principu:

1. Důsledně proškrtávejte řádky a sloupce.
2. Dostaneme čtyři prvky a vypočítáme determinant.
3. Výsledek zapíšeme do vedlejší matice třetího řádu.

Abyste si nezapomněli pořadí přeškrtávání prvků, vyzkoušejte tento diagram:

1. Definujte prvek, který pro matici hledáte. Nechť je to A₁₁.
2. Najděte stejný prvek v původní matici a označte jej tečkou.
3. Z tohoto bodu nakreslete dvě čáry: podél řádku a podél sloupce.

Po smazání zůstane čtvercová dvourozměrná matice, jejíž determinant se rovná rozdílu součinů dvou úhlopříček.

Matriku nezletilých 3. řádu je vhodné najít na papíře pomocí pera, tužky a gumy – původní matrici zapsat, tužkou proškrtnout řádky, spočítat determinant, řádky vymazat a postup opakovat. Doporučujeme vyzkoušet a výsledek porovnat s našimi výpočty.

1. řádek 1. prvek:

1. řádek 2. prvek:

1. řádek 3. prvek:

2. řádek 1. prvek:

2. řádek 2. prvek:

2. řádek 3. prvek:

3. řádek 1. prvek:

3. řádek 2. prvek:

3. řádek 3. prvek:

Vypočítáme matici algebraických sčítání: vezmeme matici vedlejších a změníme znaménko ve čtyřech prvcích na opačné znaménko – změníme A₁₂, A₂₁, A₂₃ a A₃₂. Výslednou matici transponujeme a můžeme přejít k poslední akci.

Třetí krok: výpočet inverzní matice

Našli jsme všechny komponenty pro výpočet inverzní matice. Zbývá je dosadit do vzorce, vynásobit a zapsat odpověď:

Pane, proč to všechno?

Chápeme, že to všechno vypadá úplně odděleně od života. Nějaké nezletilé, determinanty, o čem to vůbec mluvíme?

• Nemusíte být schopni vyřešit všechny tyto rovnice sami. Již dlouhou dobu pro to existují výkonné algoritmy.
• Stačí pochopit, v čem to všechno spočívá. Zde je matrice. Zde je algoritmus, který z této matice vytvoří nějakou jinou matici. Všechno je to jen aritmetika, čísla sem, čísla sem.
• Na konci této cesty si ukážeme, jak se z těchto kostek skládá strojové učení. A uvidíte, že strojové učení je jen velká algebra. Jen aritmetika, čísla sem, čísla sem.
• A chápete, že žádná umělá inteligence neexistuje. To je vše, od začátku do konce, práce s čísly a výpočty pomocí vzorců. Je to tak, že když se to děje ve velkém, vytváří to iluzi smysluplné činnosti. Klíčové slovo je iluze.

Uklidni se, všechno bude v pořádku.

Spoluautoři: Mario Banuelos, PhD. Mario Banuelos je učitelem matematiky na Kalifornské státní univerzitě ve Fresnu. Má více než osm let pedagogické praxe se specializací na matematickou biologii, optimalizaci, statistické modely evoluce genomu a datovou vědu. Získal bakalářský titul z matematiky na California State University ve Fresnu a doktorát z aplikované matematiky na University of California, Merced. Učil na vysoké i střední škole.

Počet zobrazení tohoto článku: 149 665.

Maticové determinanty se často používají v počtu, lineární algebře a analytické geometrii. Mimo akademický svět maticové determinanty neustále potřebují inženýři a programátoři, zejména ti, kteří pracují s počítačovou grafikou. Pokud již víte, jak najít determinant matice 2×2, pak jediné nástroje, které potřebujete k nalezení determinantu matice 3×3, jsou sčítání, odčítání a násobení.

Hledání determinantu

• M = ( a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ) = ( 1 5 3 2 4 7 4 6 2 ) a_&a_&a_a_&a_&a_a_&a_&a_end>= >

• Vyberme první řádek matice M v našem příkladu. Zakroužkuj čísla 1 5 3. V obecném tvaru zakroužkuj a₁₁ a₁₂ a₁₃.

• V našem příkladu by referenční řádek byl 1 5 3. První prvek je na průsečíku prvního sloupce a prvního řádku. Přeškrtněte řádek a sloupec s tímto prvkem, tedy první řádek a první sloupec. Zapište zbývající prvky jako matici 2 x 2:
• 1 5 3
• 24 7
• 46 2

• V našem příkladu je determinant matice ( 4 7 6 2 ) 4&76&2end>> = 4*2 – 7*6 = -34.
• Tento determinant se nazývá menší prvek, který jsme vybrali v naší původní matici. [2] X Zdroj informací Jinými slovy, právě jsme našli vedlejší a₁₁ .

• V našem příkladu jsme vybrali prvek a₁₁, což bylo rovno 1. Vynásobte to -34 (determinant matice 2×2) a dostaneme 1*-34 = -34.

• + — +
• — + —
• + — +
• Protože jsme pracovali s prvkem a₁₁ , u kterého je znaménko +, pak výslednou hodnotu vynásobíme +1 (tedy necháme tak, jak je). Algebraický doplněk našeho prvku se bude rovnat -34 .
• Znak algebraického doplňku můžete také najít pomocí vzorce (-1) i+jKde i и j — číslo sloupce a řádku vybraného prvku. [3] X Zdroj informací

• Přeškrtněte řádek a sloupec s tímto prvkem. V našem příkladu musíme vybrat prvek a₁₂ (rovná se 5). Proškrtneme první řádek (1 5 3) a druhý sloupec (5 4 6) 546end>> matice.
• Zapište zbývající prvky jako matici 2×2. V našem příkladu bude matice vypadat takto ( 2 7 4 2 ) 2&74&2end>>
• Najděte determinant této nové matice 2×2. Použijte výše uvedený vzorec ad – bc. (2*2 – 7*4 = -24)
• Vynásobte výsledný determinant vybraným prvkem matice 3×3. -24 * 5 = -120
• Zkontrolujte, zda je nutné výsledek vynásobit -1. K určení znaménka algebraického doplňku použijeme vzorec (-1) ij. Pro prvek jsme vybrali a₁₂ tabulka ukazuje znaménko „-“ a vzorec dává podobný výsledek. To znamená, že musíme změnit znaménko: (-1)*(-120) = 120 .

• Přeškrtněte první řádek a třetí sloupec, abyste získali matici ( 2 4 4 6 ) 2&44&6end>>
• Jeho determinant je 2*6 – 4*4 = -4.
• Vynásobte výsledek prvkem a₁₃: -4 * 3 = -12.
• Prvek a₁₃ má ve výše uvedené tabulce znaménko +, takže odpověď bude znít -12 .

• V našem příkladu je determinant roven -34 + 120 + -12 = 74 .