Jak vypočítat ohybový moment nosníku?
Příklad řešení úlohy sestrojení diagramů vnitřních příčných sil Qy a ohybové momenty Mx pro ocelový nosník na dvou kloubových podpěrách, zatížených soustředěnou silou F, momentem m a rovnoměrně rozloženým zatížením q.
Úkol
Řešení problému
Zde byly stanoveny reakce podpory pro toto schéma návrhu.
Paprsek má 3 výkonové sekce. Označme je římskými číslicemi např. zprava doleva.
Pro výpočet součinitelů vnitřní síly pro řezy nosníku použijeme metodu řezů.
Výpočet hodnot
Začněme první silovou sekcí (CD).
Nakreslete průřez v rámci webu, kdekoli mezi body C a D.
Tato sekce rozděluje paprsek na dvě části (levou a pravou). Pro určení vnitřních faktorů si můžete vybrat kterýkoli z nich, ale je lepší zvolit méně zatíženou část nosníku. Pochopitelně to bude jeho pravá strana.
Vzdálenost od pravého okraje pozemku k uvažovanému úseku bude označena proměnnou z1, který může nabývat hodnot od 0 do 1,5 metru (tj. 0 ≤ z1 ≤ 1,5 m).
Všechny výpočty hodnot a konstrukce Q a M diagramů pro nosník jsou podrobně uvedeny v našem výukovém videu:
Pojďme na chvíli mentálně odhodit celou levou stranu paprsku.
Příčná síla Q v daném úseku prvního řezu bude rovna součtu všech vnějších sil působících na uvažovanou část nosníku s přihlédnutím k jejich znaménku, tzn.
Zde se síla F píše kladná, protože má tendenci otáčet pravou stranu paprsku ve směru hodinových ručiček vzhledem k uvažovanému úseku.
V tomto výrazu není žádná proměnná z1, což znamená, že vnitřní smyková síla bude stejná pro všechny řezy tohoto řezu.
Ohybový moment M v uvažovaném řezu je určen jako součet ohybových momentů ze všech vnějších zatížení vybrané části nosníku.
Zde se síla F píše záporná, protože mají tendenci stlačovat spodní vrstvy paprsku.
Ve výsledném výrazu je proměnná z1 je momentové rameno síly F pro daný úsek nosníku.
Jak je z výsledného výrazu patrné, ohybový moment se po délce úseku mění lineárně (od z1 do prvního stupně), proto k sestrojení diagramu v této oblasti potřebujeme pouze dva body.
Těmito body budou hodnoty ohybového momentu na hranicích řezu I, tzn. na z1=0 a při z1= 1,5 m
V první části jsou určeny vnitřní síly.
Přejděme k druhé silové sekci (BC).
Začneme také nakreslením řezu kdekoli v oblasti a výběrem příslušné části nosníku. Zde je také výhodnější zvážit pravou stranu nosníku.
Vzdálenost k uvažovanému úseku od pravého okraje pozemku bude označena proměnnou z2. V tomto případě 0 ≤ z2 ≤ 1 m.
Zapišme si výrazy a vypočítejme hraniční hodnoty vnitřní smykové síly Q
A ohybový moment M
Zde podpůrná reakce RC je kladné, protože stlačuje horní vrstvu a síla F a rozložené zatížení q jsou záporné, protože stlačit spodní vrstvu nosníku.
Zde je ukázáno, jak se zaznamenává moment rozložené zátěže.
Ve výrazu pro MxII proměnné na druhou mocninu, takže momentový diagram ve druhé sekci bude vypadat jako parabola.
Jak víte, ke konstrukci paraboly potřebujete znát polohu alespoň tří jejích bodů. Ale jak se ukáže později, v některých případech lze při konstrukci diagramů paraboly kreslit pouze pomocí dvou bodů. Spočítejme jejich hodnoty:
Zbývá najít vnitřní síly ve třetím silovém úseku (AB).
Prořízneme nosník mezi body A a B. Vyberte méně zatíženou levou část. 0 ≤ z3 ≤ 2m – interval možných poloh úseku vzhledem k levému okraji pozemku.
Zapíšeme výrazy pro Q a M a vypočítáme hodnoty v krajních bodech
Zde můžete vidět, že výraz pro QyIII je lineární a na diagramu Mx v této oblasti bude parabola.
Na základě získaných dat sestavujeme diagramy.
Konstrukce diagramů
Abychom vytvořili diagramy, vyneseme vypočítané hodnoty ze základní linie do odpovídajících oblastí.
Začneme diagramem příčných sil Q.
V první sekci výraz pro Q nezávisel na z1 proto bude jeho hodnota konstantní (QyI=const) po délce úseku, tzn. čára diagramu bude rovnoběžná se základní.
Ve druhé části byly získány dvě hodnoty Q: -58,3 kN při z2=0 a -18,3 kN při z2= 1 m. Proměnná z2 byla vyřazena z pravého okraje lokality, takže z2=0 v bodě C, respektive v bodě B proměnná z2= 1 m.
Hodnoty Q ve třetí části a hodnoty M na diagramu ohybových momentů jsou vyneseny podobně.
Body na řezu II a III diagramu Q a na řezu I diagramu M jsou spojeny úsečkami, protože rozložení vnitřních sil a momentů je lineární (proměnná z na první mocninu).
A když spojujete body diagramu M s parabolami, musíte se podívat na diagram Q.
Faktem je, že diagram příčných sil je první derivací diagramu ohybových momentů. Proto v řezech paprsku, kde Q = 0 na diagramu M bude extrém.
Jak vidíte, Q diagram protíná nulovou čáru pouze na třetí silové části nosníku. Vzhledem k tomu, že nás zajímají pouze špičkové hodnoty ohybových momentů, stačí ve druhé části spojit dva krajní body parabolou, která nemá extrém, jehož konvexita směřuje směrem k rozložené zátěži.
Pro přesnější konstrukci parabolické čáry v daném řezu můžete najít momentové hodnoty pro mezilehlé polohy řezu, například v z2= 0,5 m.
Ve třetí části, v části, kde Q protíná základní čáru, je nutné vypočítat krajní bod.
K tomu výraz pro QyIII se nastaví na nulu a vypočítá se hodnota z3, při kterém nabývá ohybový moment v řezu extrémní hodnoty. Dosazuje se do výrazu pro MxIII
Tato hodnota je vynesena do M diagramu pod průsečíkem Q diagramu se základní linií
načež jsou tři body spojeny hladkou čarou.
Vykreslí se diagramy vnitřních posouvajících sil a ohybových momentů.
Takové otázky dnes zvážíme na této stránce. Zde je video lekce na toto téma a jeho popis. Takže, jdeme!
Zde jsou některé další lekce o síle materiálů, které najdete na mých webových stránkách:
Hypotézy a definice ohýbání
Nejprve začněme s definicemi a hypotézami, které zavádíme v pevnosti materiálů při studiu ohybu:
Co je to paprsek? Paprsek je tyč, jejíž délka je výrazně větší než její šířka a výška. Zároveň dochází k deformaci ohybem.
Ohýbání, co je to? Jedná se o typ deformace, při kterém je podélná osa nosníku ohnuta, ale podélná vlákna na sebe netlačí a úseky jsou před ohybem ploché a po ohnutí tak zůstávají.
Na obrázku výše je schéma pro odvození vzorce napětí a ukázka napětí, která vznikají při čistém ohybu. Tento termín bude muset být vysvětlen v jiném článku. Mezitím pokračujme.
Diagram je graf změn veličiny, pro kterou je konstruován. Tak diagram ohybového momentu – jedná se o graf změn vnitřní síly – ohybového momentu po délce nosníku. Pomocí tohoto grafu, vykresleného v měřítku, můžete pomocí jednoduchých operací určit hodnotu ohybového momentu v libovolném bodě podél délky nosníku. Diagram smykové síly – obdobně graf jeho změny vnitřní síla – příčná síla po délce nosníku.
Konstrukce ohybových diagramů
Začněme konstruovat ohybové diagramy.
Pro jednoduchost si vezměme trám sevřený na jedné straně a volný okraj trámu na druhé straně (videolekce o typech podpor a reakcích podpor). Proč je to takto jednodušší? Protože u tohoto způsobu upevnění není nutné zjišťovat podpěrné reakce. Žádná taková potřeba nebude. Později se ukáže proč.
Obrázek ukazuje jednu podélnou osu, ale průřez není zobrazen. Co je tato osa? Toto je osa, na které nedojde k žádné deformaci (neutrální vrstva, výše na obrázku). U řezů, které mají jednoduchý tvar, jako je kruh, čtverec, obdélník, I-nosník nebo složité složené tvary, tato čára vždy prochází hlavními centrálními osami (prozatím je zde opět video lekce o „momentech setrvačnosti“, a později napíšu článek). Pro vytvoření diagramů to stačí.
Rozhodli jsme se tedy pro schéma výpočtu, nyní přejdeme přímo k samotnému výpočtu.
Metoda ohybového úseku
Ukážeme si část na nosníku a dáme k ní několik vysvětlení:
Obvykle je tento diagram nakreslen jednobarevně, ale pro snazší popis v textu jsem jej rozdělil do tří barev.
Počátek osy x bereme to pod silou F. To znamená pod touto mocí x = 0. Je vhodné vzít kladný směr osy doleva, směrem k místu, kde je umístěn zbytek paprsku. Respektive x se mění od nuly do celé délky paprsku. Pouze v těchto mezích existuje paprsek.
Úsek, který je na obrázku označen jako „jedovatě zelený“, se může pohybovat, protože vzdálenost k němu je x .
Tak x úsek může být na počátku nebo možná na konci a také v intervalu. Musíme tomu porozumět, aby bylo možné vybudovat závislost na vnitřním úsilí s ohledem na tento pohyb. Ne pro konkrétní polohu řezu, ale pro libovolnou polohu po celé délce nosníku.
Samostatně zvážíme odříznutou část. Zapišme si pro něj podmínky rovnováhy. To je metoda řezů – odřízněte, podívejte se na vnitřní síly a najděte je z podmínek rovnováhy.
Na obrázku vidíme odříznutou část. Ve stejnou dobu x se změní zleva doprava z nuly na l.
Při takovém zatížení, pokud na tuto část nepůsobí žádné jiné síly kromě síly F, pak tento kus nosníku spadne dolů, přičemž se otáčí a pohybuje translačně. Tito. provádět planparalelní pohyb.
Je logické předpokládat, že ve skutečné konstrukci ve srovnání s odříznutou částí tuto část nosníku něco „drží“ a nedovolí jí „spadnout“. Jedná se o síly interakce na meziatomové úrovni a, jsou-li reprezentovány integrálně, vnitřní síly. To znamená, že jeden musí držet translační pohyb směrem dolů a druhý musí držet rotační pohyb. Translační pohyb je způsoben, a proto může být „zastaven“ silou, a rotační pohyb je způsoben točivým momentem. Právě tyto snahy nás zajímají. Vnitřní síly: ohybový moment M(x) a smyková síla Q(x).
Pojďme si je představit v naší sekci:
Směr vnitřních sil na obrázku je zvolen v souladu se znaménkovým pravidlem.
Znaménkové pravidlo pro vnitřní ohybové síly
Nyní nakreslíme, co se stalo, a trochu to zjednodušíme
Není to pravda, vypadá to jako úsměvný emotikon – to je znakové pravidlo pro kladný směr ohybového momentu pro výpočet paprsku pro ohyb. Tito. jakákoliv síla, která způsobí ohyb paprsku tak, že se paprsek ohne konvexně dolů (veselý smajlík), tzn. natažená vlákna jsou dole – to bude pozitivní věc.
Pokud se emotikon pod vlivem vnějších sil ukáže jako smutný, jak je uvedeno níže:
Takové vnější síly způsobují ohybovou deformaci, takže natažená vlákna nahoře budou mít ohybové momenty se znaménkem mínus.
Ale pojďme dál. Koneckonců, naším cílem je vypočítat sílu paprsku, a ne pravidlo značek pro ohyb.
Získali jsme řez, ve kterém působí vnější i vnitřní síly, které určují pevnost.
Zápis analytických výrazů pro diagramy vnitřních sil Q(x) a M(x)
Zbývá zapsat vnitřní síly v podobě závislosti ohybového momentu M(x) a příčné síly Q(x). Již jsme poskytli obrázek ukazující tyto vnitřní snahy:
Pro určení příčné síly použijeme součet průmětů na svislou osu a pro určení momentu vezmeme moment vzhledem k bodu C.
To provedeme vždy při určování ohybového momentu při výpočtu nosníku pro ohyb. Z této rovnice tedy odstraníme moment z Q(x). To je způsobeno tím, že rameno z Q(x) do bodu C je rovno nule, proto bude moment od této síly nulový.
součet průmětů na svislou osu:
Σ Oy: Q(x) – F = 0; ⇒ Q(x) = F;
součet momentů k bodu C:
Σ MС: -Fx – M(x) = 0; ⇒ M(x) = -Fx;
Jak je vidět ze závěrečných výrazů, dostali jsme rovnice pro dvě přímky.
Od souřadnic x není vůbec zahrnuta v rovnici příčné síly – pak se jedná o rovnici přímky rovnoběžné s osou x . Tito. v jakékoli x smyková síla je F.
Vzhledem k tomu, v momentu rovnice souřadnice x je zahrnuta v první mocnině – pak je to rovnice přímky skloněné k ose x pod úhlem.
Proto byl první řádek ve škole napsán ve formě rovnice:
A to druhé bylo napsáno:
Na grafu to vypadá takto:
Ke konstrukci přímek tedy stačí najít dva body na souřadnicových osách a nakreslit přímky pod pravítkem. Při konstrukci diagramů momentů a smykových sil je zvykem brát krajní body, tzn. počáteční a koncový bod části těchto čar.
Proto dosazujeme z mezí existence 0 ≤ x ≤ l nejprve 0 a pak l .
M(x = 0) = -F.0 = 0; ⇒ M(x = l ) = -F · l ;
Sestavení diagramů ohybového momentu a smykové síly při ohýbání
Získané hodnoty ohybového momentu a smykové síly ve dvou úsecích (v poloze x = 0 и x=l) dáme stranou odpovídající pořadnice, tzn. doslova sestavujeme grafy obou funkcí.
Co vidíme z vytvořených diagramů, jaké závěry můžeme vyvodit:
- z diagramu příčné síly je zřejmé, že se po celé délce nemění a je rovna vnější síle F
- od počátku x (tj. vpravo) vidíme v diagramu „skok“ o velikosti této síly, pak na konci, ve vložení, skok ukazuje, že reakce ve vložení je rovna síle F
- na diagramu momentů graf opouští nulové souřadnice x (vpravo na nosníku) a moment je také nulový
- Jak se úsek vzdaluje od síly doleva, moment se zvětšuje a největší hodnoty dosáhne v zapuštění, kde je pozorován stejný skok jako v diagramu příčných sil a je roven (- F x). To znamená, že moment v těsnění se rovná přesně této hodnotě
Co je to „skok“ na diagramu?
Když graf nezačíná od nuly nebo nezačíná od hodnoty získané v předchozí části, ale má ve stejné části x dvě různé hodnoty – taková nespojitost ve funkci se nazývá skok. Tito. pokud se podíváme na graf nekonečně blízko vlevo a nekonečně blízko vpravo, dostaneme dvě různé hodnoty pro smykovou sílu a moment. A tento skok pro příčnou sílu se musí rovnat aplikované koncentrované síle a pro daný okamžik aplikovanému koncentrovanému momentu.
To jsou všechna tajemství konstrukce diagramů pro momenty a smykové síly. Samotný proces se samozřejmě trochu zkomplikuje, ale princip zůstává stejný.
Dále ve videu jsou uvedeny příklady konstrukce diagramů pro rozložení zatížení ohybovým momentem. Aby bylo snazší ukázat rozdíl, je vše shromážděno v jednom videu:
Příklady pevnostních výpočtů pro konzolové nosníky
U konzolových nosníků budeme uvažovat tři možnosti zatížení a pevnostní výpočty pro každý typ zatížení. Veškeré výpočty uvedu ve formě výkresů