O souvislosti mezi vzhledem a skutečnou formou krystalu – téma vědeckého článku z matematiky, přečtěte si text výzkumné práce zdarma v elektronické knihovně CyberLeninka

Jednoduchá krystalografická forma — sada plošek shodného tvaru a velikosti, navzájem spojených prvky symetrie. Například pomocí osy symetrie 3. řádu lze z jedné roviny získat trigonální hranol; pomocí osy 4. řádu — tetragonální; pomocí osy 6. řádu — hexagonální. Průsečíky jednoduchých krystalografických forem tvoří přímky zvané hrany. Převaha určitých jednoduchých krystalografických forem určuje vzhled a habitus krystalů. Celkem existuje 47 jednoduchých krystalových forem. 32 z nich patří do nižší a střední syngonie a 15 do vyšší syngonie. Jednoduché formy střední a nižší syngonie se ve vyšší syngonii nikdy nenacházejí a naopak.

Jednoduché formy mohou uzavírat nebo neuzavírat prostor, proto se označují jako „otevřené“ a „uzavřené“. otevřené formuláře nemohou existovat samostatně, jako by samy o sobě, nejprve tvoří комбинацииNicméně, a uzavřené formuláře se velmi často vyskytují v kombinacích. Mezi jednoduchými tvary jsou nejběžnější kombinace hranol a pinakoid, jehlan a monoedr. Často se společně vyskytují hranol a bipyramida, někdy také krychle a oktaedr. Například krystal zirkonu, minerálu tetragonální syngonie, je obvykle tvořen kombinací dvou jednoduchých tvarů: tetragonálního hranolu a tetragonálního dipyramidu. Hranol je otevřený tvar, protože neuzavírá prostor, zatímco dipyramida je uzavřený tvar, protože prostor zcela uzavírá, i když je v pomyslném pokračování svých stěn.
Pro rozlišení jednoduchých tvarů na krystalech existuje jednoduché pravidlo: počet různých ploch na rovnoměrně vyvinutém krystalu udává počet jednoduchých tvarů.
Pokud je jen jeden otevřít jednoduchý formulář, který nemá jiný ekvivalent, se nazývá monohedron. Pokud má monohedron rovnoběžnou protilehlou stěnu, pak je takový otevřený jednoduchý tvar pinakoid, a pokud druhá ekvivalentní rovina není rovnoběžná, ale svírá s první úhel, pak je to dihedron. Když se dvě ekvivalentní roviny sbíhají ve tvaru klínu, vzniká „sfénoid“ (axiální dihedron, „polohranol“). V přítomnosti několika ekvivalentních rovin protínajících se podél rovnoběžných hran vznikají různé hranoly: trojstranné (trigonální), čtyřstranné čtvercové (tetragonální), čtyřstranné obdélníkové (kosočtverečné) a šestistranné (hexagonální). Pyramidy jsou otevřené tvary z několika ekvivalentních rovin s hranami sbíhajícími se v jednom bodě. Druhy pyramid mají stejné názvy jako odpovídající hranoly. K uzavřené jednoduché formy zahrnují bipyramid, oktaedr, lichoběžník, skalenoedr, kosočtverečné a tetragonální tetraedry, tetraedr, krychli (hexahedron), romboedr, kosočtverečný dvanáctistěn, pětiúhelníkový dvanáctistěn, tetragonální triktaedr, tetrahexahexaedr a hexaooktaedr.

Množiny plošek, které mají stejné vlastnosti symetrie, patří do stejné třídy jednoduchých tvarů, bez ohledu na operace symetrie, kterými byly odvozeny. Například sada dvou rovnoběžných identických plošek spojených prvky symetrie vždy patří do pinakoidu.

Při popisu tvarů krystalů se rozlišuje mezi jednoduchými formami a jejich комбинацииPokud tedy uvažujeme krystal tvořený plochami pouze jednoho jednoduchého tvaru, pak je obvyklé hovořit o jednoduchá krystalová forma (krychle, oktaedr, romboedr, skalenoedr), pokud se na fazetování krystalu podílejí dvě nebo více jednoduchých krystalografických forem, pak mluvíme o kombinovaná forma krystalu (kuboktahedron, škálovatelný rombohedron).

Rozmanitost krystalů se neomezuje pouze na „fasetované“ jednoduché tvary, tj. ty, které jsou charakteristické pro konvexní krystalické mnohostěny s plochými stěnami. Pro popis krystalických útvarů, které nemají dobře definovaný mnohostěnný tvar (např. sněhová vločka), byly odvozeny také následující: apikální и žeberní jednoduché krystalografické formy.

• Smolyaninov N.A. Praktický průvodce mineralogií. Moskva: „Nedra“, 1972.
• Šafranovskij I.I., Aljavdin V.F. Stručný kurz krystalografie. Moskva: „Vyšší škola“, 1984.
• Šafranovský I.I. Přednášky o krystalomorfologii. Moskva: „Vyšší škola“, 1968.
• Šubnikov A. V., Flint E. E., Bokij G. B., Základy krystalografie. Moskva—L., 1940.

• Mineralogie
• Krystalografie
• Teorie krystalové symetrie
• Křišťálové tvary

Abstrakt vědeckého článku o matematice, autor vědecké práce — Stepenščikov Dmitrij Gennadijevič, Vojtěchovskij Jurij Leonidovič

Skutečný tvar krystalu (jednoduchý tvar nebo jejich kombinace s různým vývojem různých plošek) určuje kombinatoriku krystalu: počet plošek, jejich vzájemné uspořádání a způsob jejich vzájemného kontaktu. Nespecifikuje však geometrické parametry krystalu, což je charakteristika používaná krystalografy prostřednictvím pojmů „vzhled“ a „habitus“. Tento článek poskytuje analýzu vztahu mezi vzhledem a skutečným tvarem krystalu.

Podobná témata vědeckých prací z matematiky, autor vědecké práce — Stepenščikov Dmitrij Gennadijevič, Vojtěchovskij Jurij Leonidovič

Speciální kombinace krystalických jednoduchých forem
Skutečné diamantové oktaedry
Řazení konvexních mnohostěnů
Mechanismy a příčiny změn tvaru krystalů během růstu
Tenzorový popis kulatých diamantových krystalů
i Nemůžete najít, co potřebujete? Vyzkoušejte službu výběru literatury.

O VZTAHU MEZI KRYSTALOVÝM NÁVYKEM A KRYSTALOVOU REÁLNOU FORMOU

Reálná krystalová forma (jednoduchá forma nebo její kombinace s různými nárůsty různých ploch) udává kombinatorické typy krystalu, tedy počet, uspořádání a zapojení krystalových ploch. Nicméně nedává geometrii krystalu charakteristiku používanou krystalografy z hlediska „habitusu“ a „obyčejnosti“. V tomto článku byl analyzován vztah mezi habitusem krystalu a skutečnou formou krystalu.

Text vědecké práce na téma „O souvislosti mezi vzhledem a skutečnou formou krystalu“

EXPLORAČNÍ VÝZKUM A ALTERNATIVNÍ HYPOTÉZY

O SOUVISLOSTI MEZI VZHLEDEM A SKUTEČNOU FORMOU KRYSTALU

D.G. Stepenshchikov, Yu.L. Voitekhovský

Geologický ústav Kolského vědeckého centra Ruské akademie věd

Skutečný tvar krystalu (jednoduchý tvar nebo jejich kombinace s různým vývojem různých plošek) určuje kombinatoriku krystalu: počet plošek, jejich vzájemné uspořádání a způsob jejich vzájemného kontaktu. Nespecifikuje však geometrické parametry krystalu – charakteristiku, kterou krystalografové používají prostřednictvím pojmů „vzhled“ a „habitus“. Tento článek poskytuje analýzu vztahu mezi vzhledem a skutečným tvarem krystalu.

vzhled krystalu, skutečný tvar krystalu, krystalové fazety.

Předmětem našeho studia je tvar krystalů

minerály – brus krystalu, určený jeho vnitřními vlastnostmi

struktura a vnější podmínky růstu. Omezíme se na

dále pouze konvexní, ploché a

uzavřené v prostoru formy krystalů.

Za izotropních podmínek je krystalové ložisko obráceno pouze

I jedné jednoduché krystalografické formy bude mít přesně

tento tvar, protože všechny jeho hrany jsou vyvinuty stejně a

Jsou si navzájem ekvivalentní vzhledem k prvkům své symetrie.

Za anizotropních růstových podmínek se krystalové plochy vyvíjejí nerovnoměrně a liší se počtem a

délky hran při zachování jejich vzájemné orientace.

Výsledný tvar se od jednoduchého tvaru liší ještě jinak // і

kombinatorika ploch – počet stran ploch, metoda /Л*^

jejich kontaktu, výskyt dalších hran a vrcholů (obr. 1). Tato forma krystalu se nazývá skutečný N. V» krystalografická forma (zkráceně reálná forma) N.

[1]. Hlavní rozdíl ve významu tohoto termínu oproti N

Obecně se uznává, že se nezohledňuje tvar krystalových fazet – u všech se předpokládá, že jsou ideálně ploché (vpravo) ve tvaru oktaedru.

Pro každý jednoduchý tvar (nebo jejich kombinaci) existuje nekonečná množina reálných tvarů, které lze rozdělit na podmnožiny podle kombinatorického typu – počtu prvků povrchu vytvořeného mnohostěnu a způsobu jejich kontaktu. V každé podmnožině jsou mnohostěny kombinatoricky ekvivalentní a jsou tvořeny množinou stejných stěn (obr. 2). Dohodněme se, že všechny mnohostěny z mají stejný reálný tvar a naopak reálný tvar odpovídající lze charakterizovat libovolným mnohostěnem z této podmnožiny. Počet takových podmnožin je již konečný (i když někdy velmi velký).

Obr. 2. Příklad tří reálných forem oktaedru. Formy sjednocené pod jedním číslem jsou kombinatoricky ekvivalentní a představují stejnou reálnou formu.

Reálná forma nám umožňuje analyzovat vliv anizotropie růstového média na fazetování krystalu – za určitých anizotropních podmínek se může vyvinout jedna nebo druhá reálná forma. Alternativní způsob popisu krystalové formy navrhl I.I. Šafranovský [2] – vyjmenování falešných jednoduchých forem, které vznikají na deformovaném krystalu, do kterých se rozpadají nerovnoměrně vyvinuté plochy každé jednoduché formy. V reálné formě jsou indexy ploch přítomných na krystalu a odpovídající kombinatorický typ fixní. Uvažujme mimo jiné o poloze reálné formy krystalu. Nalezli jsme jich osm.

1. Vzhled je nejobecnější charakteristika udávající relativní prodloužení krystalu ve třech vzájemně kolmých směrech. Vzhled necharakterizuje krystal jako fazetované těleso, ale dává představu o jeho celkovém vzhledu.

2. Habitus označuje nejrozvinutější stěny jedné nebo více jednoduchých krystalografických forem, které jsou danému krystalu vlastní. Zpravidla se při hovoření o habitusu uvádějí indexy stěn jednoduchých forem za předpokladu, že stěny stejného tvaru jsou stejně vyvinuté.

3. Kombinatorický typ je charakteristika tvaru krystalu, která specifikuje počet a způsob kontaktu vrcholů, hran a ploch. Nesouvisí přímo s krystalografií, protože neurčuje tvar krystalu, natož orientaci ploch. Jeho výhodou je jednoduchost prezentace v matematických termínech (matice sousedství vrcholů, matice dopadu vrcholů a hran), což umožňuje pracovat s krystalografickými informacemi pomocí matematiky a zejména určovat viditelné (maximálně možné pro daný kombinatorický typ) symetrie krystalu nebo získávat kombinatorické typy krystalů s pevnou sadou vrcholů, ploch nebo hran.

4. Reálný tvar je diskutován výše. Zjevně umožňuje úplnější popis krystalu než 2. a 3. metoda, a to včetně krystalografických i kombinatorických informací. Zároveň reálný tvar nezaznamenává stupeň vývoje plošek a přesně nepopisuje geometrii krystalu.

5. Rozkládání je grafické znázornění krystalových ploch, které udává jejich tvar a pořadí spojení. Jedná se o vzácný typ popisu, který neposkytuje vizuální znázornění obecného tvaru krystalu a používá se spíše k úplnému zobrazení sochařství jeho ploch [3, 4].

6. Plochy tváří. Tato metoda využívá Minkowského větu, podle níž je konvexní mnohostěn jednoznačně popsán plochami a orientacemi svých tváří [5]. Pomocí těchto informací lze rekonstruovat přesný tvar krystalu. Výhodami popisu jsou snadné určení všech parametrů a jejich stručné zaznamenání, zatímco nevýhodou je potřeba speciálních počítačových programů pro rekonstrukci tvaru krystalu.

7. Analytický popis. Každá plocha je popsána rovnicí tvaru Ax+By+Cz+D=0, kde (A; B; C) jsou kartézské souřadnice kolmice k ploše, D je parametr, který určuje vzdálenost plošky od počátku (středu krystalu). Tato metoda umožňuje pracovat s tvarem krystalu pomocí stereometrie a metod analytické geometrie.

8. Skenování je zaznamenávání tvaru krystalu určením prostorových souřadnic všech bodů na jeho povrchu. K tomuto účelu se používá laserové skenování, které zaznamenává všechny body s určitým krokem.

body povrchu krystalu, což umožňuje zaznamenat i jemnou sochařství jeho hran. Mezi nevýhody patří velký objem popisu, potřeba speciálního vybavení a softwaru pro měření a obnovu tvaru krystalu.

Každá z metod popisu fixuje určitou sadu parametrů tvaru krystalu. Jeden z popisů může do sady svých parametrů zahrnout všechny parametry z druhého popisu a být tak informativnější než ten druhý. Pokud takový vztah „zahrnutím“ označíme šipkou (od méně informativního popisu k informativnějšímu), dostaneme diagram znázorněný na obr. 3. Tečkované šipky znamenají, že uvedený vztah není vždy splněn. Dvojitá šipka mezi habitusem a skutečnou formou znamená, že buď jeden, nebo druhý popis může být informativnější.

Obr. 3. Vztah mezi popisy tvarů krystalů. Tečkované šipky naznačují, že vztah není vždy pozorován.

Metody popisu 5-8 jsou specifické a nejsou široce používány. Souvislosti mezi vzhledem a habitusem, stejně jako mezi kombinatorickým typem a reálnou formou, jsou snadno pochopitelné. Habitus implicitně obsahuje informace o geometrických parametrech krystalu (hranolový, dipyramidální, romboedrický, kubický atd.) a v některých případech je dokonce ztotožňován se vzhledem krystalu. Kombinatorický typ je součástí reálné formy; u habitusu není kombinatorický typ vždy jasně definován (obr. 4).

Podívejme se podrobněji na vztah mezi vzhledem a skutečným tvarem krystalu. Vzhled krystalu je podle definice posuzován jeho lineárními parametry a, b a c, měřenými podél tří vzájemně kolmých os. V závislosti na poměru těchto parametrů se rozlišují čtyři hlavní krystalové vzhledy: sloupcový, tabulkový, prizmatický a izometrický. Pokud uspořádáme parametry vzestupně a> b> c, pak všechny možné krystalové vzhledy budou specifikovány body se souřadnicemi (b/a; c/a) a leží v jednotkovém čtverci v prvním kvadrantu kartézského souřadnicového systému. Ten lze rozdělit do 4 zón, z nichž každá odpovídá jednomu ze čtyř hlavních krystalových vzhledů (obr. 5). Průsečík všech zón se souřadnicemi (0.5; 0.5) odpovídá přechodovému vzhledu s poměrem parametrů 4:2:1. Extrémní body diagramu se souřadnicemi (0; 0), (0; 1), (1; 0) a (1; 1) odpovídají limitním případům hranolového, sloupcového, tabulkového a izometrického vzhledu.

Téměř všechny reálné formy mají hrany, jejichž paralelní pohyb je přípustný, tj. zachovává kombinatorický typ, který je této reálné formě vlastní. V tomto případě se geometrické parametry krystalu mění. Vyvstává otázka: jaká je rozmanitost vzhledu určité reálné formy krystalu. Vzhledem k tomu, že vzhled je diagnostickým znakem minerálů a indikuje podmínky vzniku minerálů a reálná forma závisí na anizotropii prostředí vzniku krystalu, má srovnání těchto dvou popisů praktický význam.

Pro některé reálné tvary se problém řeší jednoduše. Reálný tvar krychle tedy umožňuje libovolné rovnoběžné posuny stěn a v důsledku toho i libovolné poměry parametrů a, b a c. Na diagramu vzhledu bude reálný tvar krychle odpovídat celé ploše jednotkového čtverce. Reálný tvar oktaedru, který se shoduje s jeho jednoduchým tvarem (obr. 2, případ 2), neumožňuje samostatný posun jedné nebo části stěn bez změny kombinatorického typu. Na diagramu vzhledu bude

odpovídají bodu se souřadnicemi (1; 1), odpovídajícímu ideální izometrii krystalu. Totéž platí pro skutečný tvar tetraedru, jehož paralelní nezávislý posun ploch nemění relativní rozměry krystalu. Pro drtivou většinu reálných tvarů však není určení změny vzhledu snadným úkolem. Zaprvé, obtíž spočívá v problému výběru směrů tří os, podél kterých

Měří se parametry a, b a c. Pokud vezmeme hlavní osy krystalu jako

takové směry, pak ne pro všechny syngonie (například pro triklinické nebo monoklinické) budou vzájemně kolmé. Otázka kolmosti os je otevřená – definice vzhledu nepředpokládá ortogonalitu vybraných směrů, s výjimkou Razumovského poznámky, naznačující prizmatický (prstencovitý) vzhled krystalu. Na druhou stranu použití sudých vzájemně kolmých hlavních os krystalu nevylučuje nesprávnost definice vzhledu. Jako příklad uvažujme skutečný tvar oktaedru (obr. 6). Bez ohledu na posun vybraných ploch (šedé), všechny tři parametry a, b a c, měřené podél os L4

zůstanou nezměněny a navzájem si rovny. Tedy i natažené podél osy L3

skutečný tvar oktaedru bude považován za izometrický, což neodpovídá interpretační funkci vzhledu.

Obr. 5. Diagram vzhledu krystalu

Obr. 4. Kubický habitus, jednoznačně definující kombinatorický typ (1) a tři formy s kuboktaedrickým habitem, mající různé kombinatorické typy (2)

Za druhé, u některých reálných forem vede i stejný vývoj všech ploch, což naznačuje izotropní podmínky vzniku krystalu, k neizometrickému vzhledu. U dipyramid, jejichž plochy svírají s hlavní osou c malý úhel, má tedy vzhled jasný sloupcový charakter, což není v souladu s jednotnými podmínkami růstu krystalu. V tomto případě zbývá dojít k závěru, že vzhled krystalu naznačuje nejen podmínky jeho vzniku, ale také vlastnosti krystalu. Obr. 6. Příklad reálné formy

oktaedr (vysvětlení v textu) vnitřní struktura

Přechod od kvalitativního charakteru vzhledu krystalu ke kvantitativnímu je tedy spojen pouze s jednou zásadní obtíží – jednoznačnou definicí „prodloužení ve třech různých směrech“. Poté se hledání všech možných vzhledů odpovídajících určitému reálnému tvaru s variací jeho geometrických rozměrů provádí poměrně jednoduše. Výsledkem je, že každý reálný tvar krystalu na diagramu vzhledu bude odpovídat určité uzavřené oblasti. Označme množinu jeho bodů jako , kde Ri je určitý reálný tvar krystalu a H(R) je vzhled R odpovídající určitému bodu oblasti.

Vezměme si rozmanitost reálných forem pro libovolnou jednoduchou krystalografickou formu (nebo jejich kombinace) a vyhodnoťme vzhled každé formy. I bez znalosti konkrétní formy H(Rj) můžeme vyvodit řadu závěrů. Zaprvé, protože se stěny reálné formy v rámci přípustných limitů posouvají spojitě, množina je spojitá a souvislá. Za druhé, reálné formy, alespoň v některých jejichž vrcholech se setkává více než tři stěny, jsou limitními případy reálných forem, v každém jejichž vrcholu se setkávají přesně tři stěny (říkejme jim regulární). Pokud jsou tedy HP reálné formy odpovídající nějaké regulární reálné formě RP, pak pro libovolné Re platí HP H(R)cH(RP). Jinými slovy, množina výskytů reálné formy je podmnožinou výskytů regulární reálné formy, která jí odpovídá. Totéž platí pro reálné formy bez plných stěn, které jsou limitními případy plných s degenerovanými stěnami. Plné regulární reálné formy tedy zaujímají zvláštní postavení a určují celý možný rozsah změn vzhledu krystalů. Například pro oktaedrické krystaly to bude pět regulárních reálných forem (obr. 7).

Podrobná analýza vztahu mezi různými popisy tvarů krystalů by mohla poskytnout další

informace důležité pro jejich interpretaci z hlediska mechanismů a podmínek vzniku. Kombinatorický typ Obr. 7 – Celoplošné pravidelné reálné tvary oktaedru a habitus (druhý jmenovaný má zjevně

(rozšířenější při zvažování otázek krystalogeneze) lze podobně podrobně analyzovat z hlediska korelačních závislostí.

Závěrem konstatujeme, že převod kvalitativních charakteristik geologických objektů na kvantitativní úroveň je důsledkem jakéhosi dualismu: jakákoli kvalita je dříve či později hodnocena v číselných hodnotách a naopak, kvantitativní charakteristiky jsou sloučeny do samostatných bloků, intervalů, zón (například fázových diagramů) atd., z nichž každému je přiřazen kvalitativní znak. Nakonec konstatujeme, že směr vyvinutý autory, který již dostal název kombinatorická krystalomorfologie, navazuje na po mnoho let zapomenutou práci akademika E.S. Fedorova na generování úplné kombinatorické rozmanitosti konvexních mnohostěnů a propojuje ji s klasickými metodami krystalomorfologie, čímž představuje know-how ruské vědy.

1. Vojtěchovskij YL O reálných krystalových oktaedrech. Acta. Cryst. 2002. A58. S. 622-623. 2. Šafranovskij I.I. Přednášky o morfologii krystalů. Moskva: Vysší škola, 1968. 174 s. 3. Mokijevskij V.A. Morfologie krystalů. Leningrad: Nedra, 1983. 296 s. 4. Lemmlein G.G. Morfologie a geneze krystalů. Moskva: Nauka, 1973. 328 s. Minkowského věta a popis tvaru krystalu / Ju.L. Vojtěchovskij, D.G. Stepenščikov, M.S. Makarov // ZRMO. 5. č. 2006, s. 5-101.

Informace o autorech

Stepenščikov Dmitrij Gennadijevič – kandidát geologických a mineralogických věd, vědecký pracovník; e-mail: [email protected] Vojtěchovskij Jurij Leonidovič – doktor geologie a mineralogie, ředitel ústavu; e-mail: [email protected]